电偶源瞬变电磁测深研究(二)

　　摘要　主要指出了瞬变电磁场求解的几种方法，重点阐述频率域的方法，也就是利用已有的频率域的解，通过傅里叶变换或拉普拉斯变换的逆变换求得时间域的瞬态解。
　　关键词　电偶极子　瞬变电磁场　解
　　中国图书资料分类法分类号　P631.325

STUDY ON THE TRANSIENT ELECTROMAGNETIC (TEM) SOUNDING WITH ELECTRIC DIPOLE.II.THE SOLVING PROCESS OF TEM FIELD

　　Chen Mingshen　(Xi’an Branch of CCRI)

　　Abstract　Following the first paper (basic principle)of study on the TEM sounding with electric dipole,this paper indicates mainly some solving processes of TEM field,with the emphasis on the discussion of frequency domain method,that is,using the existed solution of frequency domain,the transient solution of time domain is obtained through the inverse transformation of Fourier transform or Laplace transform.
　　Keywords　electric dipodes;TEM field;solutions

1　概述
　　对供电接地导线，若其长度远小于到观测点的距离，可视为电偶极子源；如观测点靠近发射源导线构不成偶极子时，可把发射源看成多个偶极子的叠加。对水平电偶极源，当发射与接收均处于地面，且频率成分较低时可作准静态近似，忽略位移电流。
　　在水平电偶极源激发的瞬变电磁测深中，主要观测平行电场分量E_x和垂直磁场分量H_z，尤其更常用H_z分量，它受天然场干扰小，又属于TE波，对地层的分辨能力强。在实际资料采集时，观测的是感生电动势V_Bz，即

　　对于瞬变电磁场的求解可采用几种方式^［1］：根据麦克斯韦方程，通过解微分方程直接求特定时间函数的响应；频率域法，将频率域的解乘以一次激发场的频谱后，借助傅里叶变换或拉普拉斯变换，逆变换成时间域的解；时间域法，通过叠加阶跃响应或脉冲采样响应求得瞬态解。由于频率域的解已经求出，计算精度也高，一般都是由频率域转换到时间域求得瞬变电磁场的解。

2　频率域解法
　　任意地质体某一时刻的瞬态响应，是激发波形各傅氏分量在那一时刻产生的响应之和。瞬变电磁测深在测量时，无一次场存在，总信号仅是感应分量之和。频率域响应可通过傅氏变换或拉氏变换转换到时间域。
2.1　傅里叶变换方法
　　在《电偶源瞬变电磁测深研究(一)》^［2］中已经证明，对阶跃电流激发的瞬变电磁响应，通过傅氏变换将时间域响应具体表示成频率域响应的实部或虚部的正弦或余弦变换。例如对垂直磁场的计算可采用数字滤波法和折线逼近法。

2.1.1　数字滤波法
　　计算(1)式要进行双重积分，一个是汉克尔变换计算H(ω)，一个是傅氏余弦变换计算H(t)。它们都可按数字滤波法计算。首先做变量替换，将积分变成褶积形式，以便做数字滤波计算。
　　对于频率域响应H_z(ω)有

式中　J₁(λr)——1阶第一类柱贝塞尔函数；
　　　　　λ——积分变量，其物理意义是r方向的波矢量分量；
　　　　　G_K——地层因子；

　　为了实现对(2)式的数字滤波法计算，需做变量替换x=lnr,y=ln，这样(2)式变成

这便是褶积形式。从滤波的角度看，积分中第一个双括弧内表示输入函数，第二个双括弧内称为滤波器函数。在具体计算时，为了保证积分收敛，还应做一定的数学处理，即采用层状介质与相应均匀半空间核函数差作为输入函数，最后加上均匀半空间解析式计算结果。对(3)式写成数字滤波形式加上H_z(ω)的相应均匀半空间解析表达式便是：

式中　I(y_n)——输入函数；
　　　　C_n——滤波系数，在计算时可适当选取。
　　在计算H_z(t)时，同样做变量替换，写成褶积形式，再选取滤波系数做数字滤波计算。首先虚拟出余弦变换并写成褶积形式，以便求出滤波系数。例如对李普希兹积分

做变量替换x=lnt,y=ln(1)/(ω)后，两边都乘以e^x得

为了使输入和输出函数满足傅氏变换要求的条件，即当横坐标值很大和很小时，这两个函数都趋于零，选择的输入和输出函数都是对应二个不同a值(a=1和a=2)的上述类型函数之差，即

一般采样间隔取(ln10)/(10)，这样求得的余弦变换滤波系数及相应的横坐标，可用于同类型的余弦变换数字滤波计算。这时H_z(t)的余弦变换式(1)应写成

进而写成数字滤波式

这样，采用相应的滤波系数及横坐标后用上式可做数字滤波计算。
2.1.2　折线逼近法
　　该方法是对被积连续函数用梯形函数近似^［3，4］，借助狄拉克δ函数序列实现多项式求和。由傅氏变换的频域微分性质

F^－1［F⁽ⁿ⁾(ω)］＝(it)ⁿf(t)，

有

设F(ω)是足够光滑函数，可将其积分区间分段，并在每一段内用直线来逼近F(ω)，这时二阶导数F″(ω)可写成如下形式：

将式(9)代入(8)式得

根据

(10)式积分得

即

　　按照(12)式可将频域电偶源垂直磁场Hz(ω)虚部与圆频率之比ImH(ω)／ω代替F(ω)，求
H_z(t)，即

(13)式求电磁场过程可用图1说明。这样就很容易由频率域的响应转换到时间域的响应。在一个域里求导，相当于在另一个域里相乘，当δ函数实现转换后，乘1/t²以消除时间域的影响。

图1　连续函数处理过程
　　a——实际频率测深场分量虚部，用折线逼近；
　　b——对其求一阶导数，使成矩形函数；
　　c——求二阶导数得一组带权的δ函数

2.2　拉普拉斯变换方法
　　由于瞬态时间是，用拉氏变换显得更方便，一方面可将微分方程转换为代数方程求解；另一方面可将频率域的解转换到时间域的解。
2.2.1　拉氏变换法
　　对于均匀半空间频率域的解，直接进行逆拉氏变换，就可得均匀半空间时间域的解。例如在正阶跃电流激发下，电偶源瞬变磁场垂直分量远区场的响应可通过逆拉氏变换由电偶源频率域远区垂直磁场的响应转换得到。
　　均匀大地面上水平电偶极子源远区水平电场频率域响应为

在同样情况下，利用频谱为的正阶跃电流激发，其瞬态响应可由(14)式经逆拉氏变换得到。
　　首先设S=-iω，这样(14)式可写成

其逆拉氏变换应对(E_x(S))/(S)进行，这样便有

即

2.2.2　Gaver-Stehfest逆拉氏变换法
　　前面已经指出，时间域电磁场可由频率域电磁场转换而来，这中间要进行两次积分，一个是汉克尔变换，一个是傅氏余弦(或正弦)变换，其一般表达式为

f(t)=F^-1［∫^∞₀K(iω,λ)J_n(λr)dλ］。(17)

也可以将(17)式改写为

f(t)=∫^∞₀L^-1［K(iω,λ)］J_n(λr)dλ。(18)

　　对(17)式进行汉克尔变换时要做一定的数学处理，以保证积分收敛，这既增加计算量，也降低了计算精度。对(18)式先做逆拉氏变换，就可避免上述弊端，这就是Gaver-Stehfest逆拉氏变换方法^［5］(简称G—S方法)的基本思路。
　　按照G—S方法，如有逆拉氏变换为

相应的离散数字变换式为

其中　　　

　　如求电偶极子源垂直磁场的负垂直阶跃函数的瞬态响应，为简化起见，对(2)式归一化如下

做变量替换r=e^-x,λ=e^y则

对(23)式做G—S方法变换：

写成数值计算式为

最后得到垂直磁场瞬态响应的G—S方法计算表达式

3　时间域方法
　　在频率域方法中，是把每一个脉冲激发波形看成是分布在一定频带上的正弦波形的叠加；在时间域方法中，是把激发脉冲看成是许多阶跃函数或单位脉冲函数的叠加。通过叠加这些阶跃函数或单位脉冲函数的响应来求任意脉冲激发情况下的瞬态响应。
　　前已举出阶跃函数波形的瞬态响应计算方法，这样知道了地质断面的阶跃函数响应，就可以计算任意脉冲的响应，如图2所示。图2中一任意脉冲被近似成许多阶梯状函数，也就是不同幅值的阶跃函数。第一阶高为F(0^＋)，相继的阶差为δF_j(j=1,2，…，n)，这样，一次激发脉冲F(t)的近似解析表达式可写成

如果h(t)是某一地电断面的阶跃函数响应，那么(28)式中阶梯状逼近的响应为

假设δt很小，上面求和式将过渡为下面的积分：

这样，利用(30)式就可计算任意类型脉冲的瞬态响应。

图2　用阶跃函数逼近任意脉冲

4　小结
　　时间域瞬态响应的求解方法有多种，一般都是利用相应的频率域响应通过傅里叶变换或拉普拉斯变换的逆变换求得。对于均匀大地的瞬态响应，可直接利用域的变换公式将频率的解析解转换为时间域的解析解；对于多层大地的瞬态响应，应采用数字计算技术，象线性数字滤波获得频率域响应，继而转换到时间域响应。这个转换过程包括两个积分，一个是汉克尔变换，一个是傅里叶变换的逆变换；也可以改变两个积分的顺序，采用Gaver-Stehfest逆拉普拉斯变换方法求得瞬态响应。
　　对任意波形激发的瞬态响应，采用时间域的求解方法有一定的方便性，因为可利用阶跃函数的响应进行叠加求得

作者简介：陈明生　男　58岁　研究员　硕士　应用地球物理

作者单位：陈明生　煤炭科学研究总院西安分院　710054