均质多岩层褶皱的大变形数值模拟

　　摘要　利用杆件大变形力学理论，对均质多岩层在力作用下褶皱的形成过程及结果进行了数值模拟，结果表明当岩层受力两端边界条件对称时，产生的褶皱是对称的；当边界条件不对称时，产生的褶皱是不对称的，揭示了对称与不对称褶皱产生的力学成因，同时也表明，大变形力学理论在地质构造模拟方面有着良好的应用前景。
　　关键词　褶皱　变形　数值模拟

LARGE DEFORMATION NUMERICAL MODELING OF
　　HOMOGENOUS MUTI-LAYERS FOLDS
　　Li Yulin　Yang Xilu　(Xi'an Branch,CCRI)
　　Chen Zhida　(Beijing Graduate School,China University of Mining and Technology)
　　Yang Chenyong　(Communication University of North China)

　　Abstract　On the basis of beam large deformation theory,the paper promotes the large deformation numerical modeling of homogenous muti-layers folding process and results.The results show that the fold is symmetrical when the boundary of two-side pushing is symmetrical;the fold is non-symmetrical when it is non-symmetrical.It brings to light the mechanical reason of folds.The results also show that large deformation mechanics theory has a bright future in the modeling research of tectonics.
　　Keywords　folds;deformation;numerical simulation

1　引言

　　从力学观点看，褶皱构造就是岩层或岩层组合在力作用下发生变形的结果，而且其变形非常显著，属于大变形范畴。在二维情况下，岩层变形可以近似为杆件变形。殷有泉^［1］利用基于Green应变基础之上的有限变形力学理论对单岩层褶皱进行了数值模拟，杨成永^［2］利用基于应变与转动的Stokes—陈分解定理基础上的新的有限变形力学理论进行了单岩层褶皱的数值模拟。本文利用新的杆件大变形力学理论进行了均质多岩层褶皱的大变形数值模拟，展示了该理论在地质构造模拟中的应用前景。

2　杆件大变形的控制微分方程

　　假设有一细长曲杆，杆截面为圆形，因此通过杆截面形心的中心轴线的主法线与副法线同时也是截面形状的惯性主轴方向。设变形后杆的中心轴线成为一空间曲线C，自杆上取出一微元段AB考虑其受力状态，取AB方向为拖带坐标S的增加方向(图1)。规定在一个截面上所受的力与S增加的方向相同为正矢量，与S增加方向相反为负矢量。微元段AB所受的力如图1所示。由力的平衡条件，将平衡方程用沿g₁、g₂、g₃方向的分量表达，可得：

式中　F，M——作用在杆横截面上的力和力矩；
　　　　q　——外力；
　　　　ρ　——曲率半径；
　　　　τ　——挠率半径；
　　　　m　——体矩；
　g₁、g₂、g₃——杆件变形的拖带坐标。

图1　杆件微元受力平衡分析

　　对于平面变形情况，假设变形在xy坐标面内拖带坐标系基矢g₃垂直于变形平面，则有

而　F₃＝q₃＝0,M₁＝M₂＝m₁＝m₂＝0。
平衡方程化为

　　如图2所示，设两端受压的弹性杆长为2L，横截面积为A，抗弯刚度为EJ，在轴向压力P及重力q作用下发生弯曲变形，不计杆件的伸长。考虑杆件的平面变形，由于杆上无体矩作用，m₃=0，当静力平衡时，方程(2)中前两式自动满足，第三式为

图2　杆件受力变形分析

所以杆件弹性大变形的控制方程为

　　利用此控制方程，再加上一定的边界条件，可以在剖面上模拟地质构造中的褶皱大变形。
　　
3　均质多岩层组合的对称和不对称褶皱模拟

　　自然界褶皱构造复杂多样，形态各异，岩层组合多变，成因各不相同，规模相差悬殊。一般来说褶皱在形成过程中时间效应显著，物性差异很大，力的作用多种多样。为简化起见，本文只考虑弹性均质岩层组合在纵弯作用下褶皱形成的数值模拟。褶皱是在空间发育的三维实体，取沿褶皱轴向单位宽度的褶皱形态模拟，因此所研究的褶皱满足杆件弹性变形基本公式(3)。
　　在公式(3)中我们用差商近似代替微商：

式中　i——节点号；
　　　h——步距。
式(3)写成递推计算公式：

式中　
　　　S=2L,　L=1为单位长度；
　　　n——最大单元节点；
　　　E——杆的弹性模量；
　　　J——杆截面的惯性矩，对于正方形截面，

　　微分方程的求解需要给出所满足的边界条件，岩层在纵弯作用下，有两种边界条件：

　　第一类边界条件代表岩层受力两端均为简支端，称为对称边界条件；第二类边界条件代表岩层受力两端，一边为简支端，另一边为固定端，称为不对称边界条件。利用式(4)、(5)和(6)即可以进行弹性岩层褶皱的数值模拟。对于均质多岩层组合褶皱的模拟，我们假定：
　　a.　变形过程中各岩层接触面光滑，无摩擦；
　　b.　不考虑岩层间纵向相互作用力；
　　c.　变形过程中各对应节点的垂向距离保持不变。
　　在以上假定条件下，分别取不同的EP值(代表两端作用力大小，EP越大，所受作用力越大)在不同的边界条件下，如图3、4所示，模拟了对称和不对称多岩层褶皱的形成过程及结果。

图3　均质多岩层对称褶皱大变形模拟(对称边界条件)

图4　均质多岩层不对称褶皱大变形模拟(非对称边界条件)

4　结论

　　利用杆件大变形力学理论对均质多岩层褶皱的模拟结果表明，对于对称的边界条件，组合岩层的褶皱是对称的，对于不对称的边界条件，组合岩层的褶皱是不对称的。也就是说，对于纵弯作用形成的褶皱，由于两端运动方式不同，形成的褶皱形态亦不相同。同时也表明，有限变形力学理论在地质构造研究中有着良好的应用前景。