地下水疏干井群优化设计的遗传算法

GENETIC ALGORITHM FOR THE OPTIMAL DESIGNING
OF DEWATERING WELL LOCATIONS
　　Hu Weiyue　(Xi'an Branch,CCRI)

　　Abstract　The basic principle,parameter determination and solution process for a optimal problem with genetic algorithm are discussed.By solving a hypothesis model of well location optimal design,the paper discusses the effectiveness and advantages of genetic algorithm in the designing of optimal dewatering well locations.
　　Keywords　sewer drainage;well group;design;genetic algorithm

1　引言

　　地下水疏干是许多地下开挖工程、露天开采工程等活动中不可避免的问题。而对于一个疏干问题，其核心是在给定点水位疏降要求条件约束下，如何通过疏干井群的优化设计，使得总疏水量最小，疏干成本降到最低，从而达到在满足工程施工要求的条件下，尽可能地减少疏干费用和保护地下水资源。一个有M口疏干井、N个疏干阶段的地下水确定性疏干管理模型可简单地表示为如下形式：

式中　Min.Z——所有M个疏水井在N个规划阶段的总疏水量最小(目标函数)；
　　　β(i,j,k)——第i口疏干井在第k时段末对控制点j所产生的水位降深(单位脉冲响应函　　　　　　　　　　　数)；
Q(i,N－k＋1)——第i口疏水井在N－k＋1时段的疏水量；
　　　S(j,N)——在时段N末，对第j个控制点的疏干降深要求。
　　上述优化问题传统求解方法(如高斯—牛顿法、马奎德法及单纯形法等)的基本思想是基于梯度理论而寻求下步最优解的前进方向，并采用适当的步长向最优解靠近，对于非线性问题及非连续决策变量问题，其求导运算量相当大，甚至是不可能的。特别是这些求解方法对于在多峰问题中寻求全局最优解显得非常困难。因此进入90年代，一门新的学科——人工遗传算法在求解优化问题中得到迅速发展，并由Mckinney和Brian J.等人^［1，2］将其引入水文地质学研究领域，并获得了成功。本文讨论了将该方法应用于地下水疏干井群优化设计计算方面的可行性，并通过一假设问题证实了该方法的实用性和优越性。

2　遗传算法的基本原理

　　遗传算法是基于自然界优胜劣汰的基本思想，受生物进化过程的启示，采用随机搜索的方法，引入适应度函数来评价每一个体解对目标函数和约束条件的满足程度，以适应度函数高者得以生存和进一步进化，而对于适应度函数低的随机个体则予淘汰。这样通过一代一代的进化运算，最后生存下来的随机解是最能满足约束条件和目标函数的优化解。生物进化总是由初始的生物种群以适者生存的原则将优等物种得以生存和发展，同样，遗传算法总是先根据具体问题通过随机数生成技术产生初始解群体(群体由有限多个个体组成)，然后类似正演的形式，计算比较群体中每个个体对目标函数和约束条件的满足程度(具体表现在适应度函数上)。将较优秀的解个体保留下来，并通过基本的遗传运算(复制、交叉、变异等)，形成新一代解群体。为便于遗传计算，决策变量值常用二进制数串来表示，多个决策变量的二值数串可连接在一起形成更长的二值数串(或称之为染色体)来表示整体优化解或优化设计。假设有一个优化问题，其决策变量为X_i(i=1,2,…,k)，且每个决策变量可能的取值范围为［a_i,b_i］(i=1,2,…,k)，即X_i∈［a_i,b_i］(i=1,2,…,k)，其中a_i和b_i均为实数，不同的［a_i，b_i］之间允许互相重叠，即有［a_i，b_i］∩［a_j，b_j］≠φ,i≠j,每个决策变量可译码成长度为M_i的二值数串，二值数串的长度取决于对决策变量的表示精度。二值数串的长度M_i与表示精度之间有下列关系：

　　图1所示为k个决策变量的二值译码表示形式。

图1　多变量二值数串表示形式示意图

3　遗传算法的参数设计和求解步骤

　　遗传算法的基本运算有复制、交叉和变异，因此决定一个具体问题求解成败的关键控制参数为群体大小(m)、遗传代数(n)、交叉概率(P_c)和变异概率(P_m)。根据不同问题，上述参数的取值是不同的。但一个较好的遗传算法要求有较高的交叉概率和较低的变异概率，解群体的大小要适中。一般认为：m∈(30，100)，n∈(10,30),P_c∈(0.6，0.8)，P_m∈(0.1，0.3)。
　　遗传算法的基本解题步骤如图2。

图2　遗传算法的基本解题步骤框图

4　地下水疏干井群优化设计的遗传算法

　　地下水疏干井群的优化设计总是希望通过科学的计算，以选择合理的地下水疏干井位，从而达到以最小的疏干水量来满足疏干工程的特殊要求，因此每个疏干井位水量的配置数则成为问题的决策变量。为了说明遗传算法在疏干井群优化设计(最优疏干水量配置)应用方面的可行性，我们采用图3所示的水文地质模型和具体的疏干要求进行了计算分析。

图3　水文地质模型及计算剖分图

　　图3所示含水层为均质各向同性承压含水层，含水层厚度30 m，底板标高0 m，初始水头标高10 m，左右边界为隔水边界，上下边界为定水头边界，渗透系数K_x=K_y=5 m／d，弹性给水度为10^－4。根据工程要求，图中1～9号节点的水位疏降值必须大于等于10 m，并认为10～18号节点为可供选择的9个抽水井位，要求计算在9个可供选择的疏干井位中如何分配疏干水量才可实现在最小的疏干水量条件下以保证1～9号节点的水位疏干要求。为了用遗传算法求解该问题，文中利用有限单元法计算得各候选疏水点单位疏水量在各水位控制点的疏降脉冲响应平均值(表1)。并取a_i=0,b_i=50，利用蒙特卡罗随机数生成技术产生了100个初始解个体，根据具体问题，构造了下列适应度函数表达式：

式中　f(X,S)——适应度函数；
　　　　　X_i——各疏干点分配的疏干水量；
　　　　　S_j——各水位控制点水位降深值；
　　　　　　P——惩罚因子。

表1　各水位控制点对不同疏干点单位脉冲降深平均值