泰斯公式性态分析与误差估计方法

　　摘要　主要目的是分析在原始数据具有随机误差的情况下，利用泰斯公式进行正逆问题计算时，公式本身对误差的传递作用，即对泰斯公式的性态进行分析。研究中采用了函数对数据随机误差传递作用的随机性分析方法。通过较为简单的数学推导，建立了泰斯公式正逆计算问题的原始数据与计算结果所具有随机误差的统计参数之间的近似关系式，并推导出了两类计算问题的条件数。指出在u值较小的情况下，计算μ的问题属于“病态”的；在u=0.438点及其附近，计算T的问题为“病态”的；在u值和μ的相对误差与T的相对误差的比值很大的情况下，正问题为“病态”的。其它条件下的计算问题属于“良态”的。据此建议利用抽水试验后期资料计算T值，利用前期资料计算μ值。另一方面，还提出了在原始数据的误差为已知的情况下，进行误差估计的方法。

　　关键词　泰斯方程　条件数　误差　估计

　　中国图书资料分类法分类号　P641.2

THE PERFORMANCE ANALYSIS OF THEIS EQUATION AND ERROR ESTIMATION METHOD

　　Guo Jianqing　Li Yunfen　Wang Hongsheng　(Xi'an College of Engineering Science)

Abster　As a main purpose,the transfer of errors by the Theis equation itself under the situation that the input data has the random errors and utilizing the Theis equation to the direct and inverse computation problems,i.e.,the performance of Theis equation,is analyzed.Applying the randomness analysis method of the data random errors transfer by the functions and the simpler mathematical derivation,the approximate expressions between the statistic parameters of the random errors of input and output data have been established,and the conditional function for both kinds of computation problem are derived.It is indicated that in the case of smaller value of u,the condition for computing u is “bad performance”;in the case of u=0.438 and nearby,that for computing T is “bad performance”;and in the case of larger u value and large ratio of relative errors of μ and T,the direct computation problem is “bad performance” too.The computation problems under other conditions belong to “good performance”.On this basis,it is recommended that the calculation of T value utilizes the data from later stage of pumping test,and that of the μ value utilizes the data from early stage.In addition,the errors estimation method is presented if the errors of original data is known.

　　Keywords　Theis equation;conditional numbers;errors;estimation

1　引言

　　泰斯公式由于其形式较为简单，使用比较方便，因而在实际水文地质计算中得到广泛的应用。人们知道，泰斯公式的计算问题有两类，一是正计算问题，即在含水层水文地质参数已知的条件下，计算在抽水时周围含水层中所引起的水位降深值；另一为逆计算问题，即已知在抽水过程中含水层中水位降深在时空上的变化值，反求水文地质参数。然而不论是在正问题还是在逆问题计算过程中，计算者总会遇到不确定性问题。在正问题计算时，由于多种因素的影响，代入公式的水文地质参数总是会或大或小地存在一定的误差，因而水位降深的计算结果也一定会有误差。由于参数的真值是很难确定的，所以水位降深的计算结果会具有不确定性；在逆问题计算时，同样也存在着抽水过程中，水位降深值总是不可能精确地测量，因此利用泰斯公式反求出的水文地质参数同样也存着不确定性因素。对于泰斯公式计算问题的性态，作者曾采用有关误差分析的方法进行过初步分析和讨论^［1］；Melwee C D等也曾采用灵敏度分析的方法对此进行过分析^［2、3］；尽管这些分析采用了定量化的方法，但得出的结论却是定性的。另一方面，也未考虑输入数据误差的随机性因素。因此作者应用较为简单的数学原理和方法，对泰斯公式两类计算问题的性态进行随机性分析，并提出在原始误差的统计参数为已知的情况下，对计算结果进行近似误差估计的方法。

2　分析原理

2.1　基本公式
　　文献［4］中介绍的函数对原始数据随机误差传递作用的分析原理可以表述为：设f(x)为n个随机变量x₁，x₂，……，x_n的函数，若将其在每个变量x_i的均值附近作泰勒展开，应有：

。　(1)

　　在式(1)中，由于x_i为随机变量，所以(x_i－ _i)与f(x)也为随机变量。若对上式两端取数学期望，则可得：

。　　(2)

　　式(1)的两端分别减去式(2)的两端可得：

　　　(3)

　　式(3)两端分别自乘后，再取数学期望，可得随机函数f(x)的方差为：

。　　(4)

　　在随机变量x_i与x_j互不相关的情况下，式(2)与式(4)可以分别写为：

，　　　(5)
，　　　(6)

　　式(5)与式(6)为进行以下推导与分析的基础。
2.2　泰斯公式的均值形式
　　著名的泰斯公式为^［5］：

，　　(7)

其中　　　　　　　　　　　；　　　(8)

；　　　(9)

式中　S——水位降深；
　　　Q——抽水流量；
　　　T——含水层导水系数；
　　　μ——承压含水层的弹性释水系数；
　　　r——径向距离；
　　　t——时间。
　　在采用泰斯公式进行计算时，代入公式的原始数据总是会具有随机误差的。因此在正问题计算时，可以把T和μ看作是随机变量，故由式(7)计算出的S也应为随机变量；在逆问题计算时，可以把S的观测值看作为随机变量，故由式(7)反求出的T和μ也应为随机变量。因此就可以进行如下的分析。
　　在式(5)中令　f(x)=f(T,μ),x₁=T,x₂=μ，则有：

。　　　(10)

　　上式表明，当随机变量T和μ相互独立时，泰斯公式的均值形式和其确定性形式是一致的。对此不再进行过多的讨论。
2.3　方差间的近似关系
　　在式(6)中令　f(x)=s(T,μ),x₁=T,x₂=μ，可得：

，　　　(11)

其中　

，　　　(12)
，　　　(13)

　　式中　σ²_S，σ²和σ²_μ分别为S，T和μ的方差。其值大小反映S，T和μ与其真值之间绝对误差在统计意义下的平均水平。
　　式(11)即为各随机变量方差间的近似关系式。

3　分析与讨论

　　为了便于分析和讨论，首先将式(11)写成如下无量纲形式：

，　　　(14)

式中

，　　　(15)
，　　　(16)
，　　　(17)
，　　　(18)
。　　　(19)

　　利用式(7)与式(12)、(13)和式(13)与式(19)可以分别导出：

，　　　(20)
。　　　(21)

　　由式(15)～(17)可知，C_S与C_T和C_μ分别表示S，T和μ所具有的相对误差的均方差。
3.1　正问题的分析与讨论
　　若在式(14)中令：

，　　　(22)
，　　　(23)

则式(22)可以写为：

C_μ=KC_T，C_S=C_T。　　　(24)

　　可以这样理解式(14)和式(24)的数学意义，在泰斯公式正问题计算时，当含水层的水文地质参数T和μ的相对误差的均方差分别为C_T和C_μ，计算出的水位降深所具有的相对误差的均方差近似为C_S。在文献［2］中，称′和′为灵敏度系数。在计算方法^［6］中则称其为计算问题的条件数。在此，可以将′和′理解为泰斯公式正问题计算时，公式本身对水文地质参数T和μ所具有相对误差的均方差的传递系数。当其绝对值大于1.0时，泰斯公式本身对数据误差起“放大”作用；当小于1.0时，则起“缩小”作用。当其绝对值很大时，即使代入泰斯公式的参数具有较小的误差，计算结果可能会具有很大的误差，甚至完全“失真”，这种情况下的正计算问题则称为“病态”的，反之，则称为“良态”的。
　　式(24)直观近似地将C_S表示为C_Γ的倍。当｜｜大于1.0，则在正问题计算时，泰斯公式本身对C_T起“放大”作用，反之亦然。别一方面，由式(21)可知，为K和无量纲参量u函数，而K值为C_μ和C_T的比值。在表1中给出了相应不同u和K²的值。分析表中的数据可知：在u值保持不变的情况下，值随着K²值的增大而增大。事实上，在C_T为常数的情况下，K²的增大意味着在计算水位降深时，计算结果的误差随着μ值误差的增大而增大。在K²=0(即C_μ=0)的情况下，不论u值如何变化，值均为极小值。这样条件下的式(24)表示利用泰斯公式计算水位降时，计算结果所具有的相对误差C_S仅是由C_T引起的。

表1　相应不同u和K²值的｜｜

u
9.90	0.102	0.093
5.00	0.170	0.170
1.00	1.471	0.595
0.50	12.500	0.926
0.438	∞	1.000
1.010-1	1.984	2.016
1.010-2	1.325	4.082
1.010-3	1.188	6.329
1.010-4	1.131	8.621
1.010-5	1.105	10.526
1.010-6	1.082	13.158

不同u值的计算值。 　　式(28)的意义为在利用泰斯公式分析抽水试验数据，计算T值时，公式本身对原始数据的相对误差在统计意义下的均值的传递关系。显然，当＞1.0时，公式本身对原始数据误差起“放大”作用；反之，起缩小作用。从表2中可以看出，当u＞0.438时，为u的单调增函数；当u＜0.438时，其为u的单调减函数，且出现在点u=0.438处。这个现象表明，在u=0.438点及其附近，值相当大。在这种情况下，利用泰斯公式计算T值时，原始数据具有很小的误差时，计算结果就会具有很大的误差，甚至完全“失真”。故这种条件下的逆计算问题为“病态”的。另一方面，值随着u值的减小而逐渐趋近于1.0，这个现象表明在u值很小的情况下，利用泰斯公式计算T值时，公式本身对输入数据误差的“放大”作用较弱。可以认为这样条件下的逆计算问题为“良态”的。 3.2.2　式(26)的讨论 　　同理，在σ2T=0的情况下，式(26)的无量纲形式可写为：。　　(29) 　　式(29)的意义和式(28)相似，故不再赘述。 　　表2中也给出了相应不同u值的值。为u单调减函数。当u值很小时，值很大。这个现象表明，在u值很小的情况下，利用泰斯公式计算含水层的μ值时，原始数据具有很小的误差时，计算结果就会具有很大的误差。故u值很小情况下的计算μ值的问题为“病态”的。在u值较大情况下，值较小，故这种条件下计算μ值的问题为“良态”的。 3.2.3　对参数计算工作的建议 　　根据以上的分析和讨论可知，在利用泰斯公式进行逆问题计算时，宜在u值较小的条件下计算T值；在u值较大的条件下计算μ值。u值与抽水持续时间t成反比，故建议在参数计算时，首先利用配线法或直线图解法分析抽水试验后期资料，确定T值，然后再应用迭代法或试算法分析前期资料，计算μ值。 4　误差估计方法 　　实际数据测量误差大小分布可用高斯分布函数描述［4］。因此不论是正问题，还是逆问题计算，将原始数据所具有的随机误差分布看作为高斯分布是合理的。根据高斯分布函数的性质可知： 　　， 　　， 　　， 其中P表示随机变量x落在某个区间的概率。 　　根据上述原理，在利用泰斯公式进行计算中，如果能利用统计学的方法计算出原始数据的均值和均方差时，则可以采用文中给出的均方差间的近似关系式计算出结果的均方差，然后利用上面的概率公式对计算结果的精度进行评价。如果直接确定原始数据的均方差有困难时，可以初步估计原始数据的精度(以绝对误差或相对误差的形式表示)，然后再利用前述方法对计算结果的误差进行评价。 5　结束语 　　通过以上的分析和讨论，能够得出如下的认识： 　　a.　在u值和μ值的相对误差与T的相对误差比值较大的情况下，泰斯公式正计算问题为“病态”的；在u=0.438点及其附近，计算T的逆问题是“病态”的；在u值很小的情况下，计算μ的问题也是属于“病态”的。在其它条件下的泰斯公式计算问题属于“良态”的。 　　b.　在利用泰斯公式进行求参计算时，宜参考文中的建议，即首先利用抽水试验后期资料计算T值，然后再利用初期资料计算μ值。 　　文中推导的均方差间的近似关系式可以用来对泰斯公式正逆问题的计算结果进行误差估计。 作者简介：郭建青　男　41岁　副教授　硕士　水文地质 作者单位：郭建青　李云峰　王洪胜　西安工程学院水工系　710054 参考文献 　1　郭建青.泰斯公式对数据误差传递作用的初步分析.工程勘探，1988；(1)：44～48 　2　Melwee C D et al.Sensitivity of groundwater models with respect to variation in transmissivity and storage.Water Res.1978;14(2)：451～459 　3　Jiao J J.Sensitivity features of aquifer parameters and their implication on parameter estimation.ph.D.thesis,Dept.of Civil Eng.,Univ.of Birmingham,1993 　4　王正明，易东云.测量数据建模与参数估计.长沙：国防大学出版社，1996：30～32 　5　薛禹群主编.地下水动力学原理.北京：地质出版社，1986：136～140 　6　邓建中.计算方法.西安：西安交通大学出版社，1985 　7　汪荣鑫.随机过程.西安：西安交通大学出版社，1987