贮量集中有限元方法在渗流计算中的优点

2005/12/5 15:09:21

摘要：普通有限元方法和有限差分方法是渗流计算中常用的数值方法，而贮量集中有限元方法则很少被实际应用。为了使渗流计算者全面了解贮量集中有限元方法，并能够较多地应用这种方法，本文将渗流计算中的贮量集中有限元方法、普通有限元方法和有限差分方法进行了对比，具体比较和分析了有限元方程组的系数矩阵特征、计算工作量，通过具体的算例分析了它们的计算精度，由此指出：贮量集中有限元方法的计算精度与有限差分法基本相同，而远好于普通有限元法，它的计算工作量小于其他二种方法。
关键词：贮量集中有限元　渗流　精度　分析
中国图书资料分类法分类号：P641.2

THE SUPERIORITY OF STORAGE-CENTERED FINITE ELEMENT METHOD
IN SOLVING SEEPAGE PROBLEM

Li Shuwen¹　Wang Zhiqiang¹　Wu Qiang²　Fu Yaojun³　Dong Donglin²
　　(1　Hebei Institute of Architectural Science & Technology)
　　(2　China University of Mining and Technology)
　　(3　Hydrogeological Bureau of China National Administration of Coal Geology)

Abstract　Ordinary finite element and finite difference methods are often used for seepage calculation,while storage-centered finite element method is rarely applied to practice.To enable the calculators to understand the storage-centered finite element method completely and use it more,the difference between the three numerical methods used for seepage calculation are compared and analyzed in the respects of coefficient matrix character of the equations,calculating accuracy are shown by two instances. Therefore calculating accuracy of storage-centered finite element method is the same as finite difference method and far better than ordinary finite element method and its calculating quantity is the less than the that of other 2 methods.
Keywords　storage-centered finite element method;seepage flow;accuracy;analysis

1　引言
　　普通有限元方法(指未改进的)用于渗流计算已有较长的时间，它在理论上的正确性是无可非议的。但在实际渗流计算中，普通有限元方法易遇到的问题是计算结果在某些结点上出现反常现象。因此不少文献中提出了对普通有限元方法进行适当的改进，改进后的有限元方法称为贮量集中有限元方法(或改进的有限元方法)。贮量集中有限元方法究竟有何优点?本文通过地下水流计算中贮量集中有限元、普通有限元和有限差分法3种数值计算方法的比较，分析了贮量集中有限元方法用于渗流计算的一些优点。
2　贮量集中有限元方法与普通有限元方法的比较
　　大家熟知，描述地下水运动的基本微分方程(以承压水二维流为例)为：

(1)

运用伽辽金(Galerkin)有限元方法，可以离散成如下积分方程(只考虑第一类边界条件)^［1］：

 1303.gif (2645 字节)

　　　　i=1,2,…,m，(2)

式中　φ_i——基函数；
　　　m——未知水位的结点数目。
　　在对方程(2)左端第Ⅰ、Ⅱ项进一步离散时，贮量集中有限元方法与普通有限元方法完全一样。而对Ⅲ、Ⅳ项进一步离散时，两者是有区别的^［1］。下面以第Ⅳ项为例来说明。
　　普通有限元方法在考虑Δt时段内i结点的专有子区域的水头变化率时，采用

(3)

考虑了i结点周围各个三角形单元水头变化的线性插值，由此得到：

1305.gif (792 字节)
(4)

而贮量集中有限元方法在考虑Δt时段内i结点专有子区域的水头变化率时，采用

(5)

它是以专有子域D_i中心结点的水头变化率来代替整个专有子域的水头变化率，由此得到

1309.gif (1190 字节) (6)

　　由以上比较可以看出，对于普通有限元来说，它形成的贮量矩阵^［2］为非对角矩阵，这正如一些文献中提到的^［1，2］，由于贮量矩阵中出现非对角线项，有时会导致数值计算的困难和概念上的矛盾，尽管在整个渗流区域保证质量守恒，但在局部地段会使质量不守恒，这正是普通有限元方法在水位预报时有时候出现反常现象的原因。
　　而贮量集中有限元方法形成的贮量矩阵为对角矩阵。这种改进与普通有限元方法相比有两个好处：第一，可以抑制或消除计算结果的反常现象；第二，可以减少计算工作量，节省机器内存。因为比较(4)式和(6)式知道，对于每个单元来说，普通有限元方法比贮量集中有限元方法多计算关于的内容，如果每个未知水位的结点平均围绕有e个单元，整个计算区有m个未知结点，那么普通有限元就要多做m×e次类似的计算工作。当考虑多时段预报时，工作量增加得更多。当然也要占据一定的机器内存。
3　贮量集中有限元方法与有限差分法的比较
　　为了便于比较，采用有限差分法的不规则网格形式与贮量集中有限元法作比较。
　　不规则网格的结点有限差分方程为^［1］：

1310.gif (2385 字节) (7)

其中　 1312.gif (1374 字节)
贮量集中有限元的结点离散方程为^［1］：

1313.gif (2460 字节) (8)

　　将(7)式与(8)式比较，可以知道，贮量集中有限元方法与有限差分法的区别在于两者专有子域划分不一致^［2］。正因为这样，有限差分法除了侧向径流项((7)式左边第一项)外，其余3项中均含有δ_β——四边形ij′ok′的面积。(图1)因此有限差分法对每个单元需要计算3个面积δⁱ_β、δ^j_β和δ^k_β。而贮量集中有限元法每个单元只需要计算一个面积Δ_β。

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图1　四边形ij′ok′

4　贮量集中有限元方法的精度分析
　　我们知道，收敛性是指当空间步长和时间步长取得足够小时，数值解逼近精确解的性质。现在我们要讨论的是这样的问题，当空间步长、时间步长取得相同时，哪一种数值解与精确解的偏差小?下面首先以泰斯解为标准来检验贮量集中有限元方法的计算精度，然后进一步比较3种数值计算方法的计算精度。
4.1　与泰斯解的比较
　　例：有一符合泰斯条件的含水层，其中有两眼抽水井，由泰斯解的叠加可以计算出无限平面内(由泰斯假定的)任一点任一时刻的水位值。为了作数值计算，必须取有限区域，这个有限区域的边界水位值由泰斯公式计算给出，直接作为数值模拟的边界条件，而有限区域的内结点水位值分别由数值计算和泰斯解析公式计算求得，然后将两种计算结果比较。计算区剖分成30个单元，23个结点，其中未知水位结点9个，计算时段取作3个，ΔT₁=0.3 d，ΔT₂=0.2 d，ΔT₃=0.5 d。在9个未知水位结点(内结点)上，贮量集中有限元数值解与泰斯解析解的比较结果是：数值解与解析解的平均绝对偏差0.011 m，最大偏差0.03 m(抽水井结点除外)。因此贮量集中有限元逼近精确解，具有足够的精度。
4.2　3种数值解的比较
　　例：承压含水层二维非稳定渗流区为一集水廊道，将渗流区剖分成10个单元，9个结点，其中1、2、3、4、5为未知水位结点，6、7、8、9为一类边界结点，边界结点的水位值由实测得到。计算时段ΔT＝0.5 d。3种数值方法的计算结果比较见图2。由比较知道，3种数值解中，如果认为有限差分法较为精确的话，那么从图中可以看出，贮量集中有限元计算结果与有限差分法的计算结果是基本等同的。而普通有限元相对于前两种数值解的计算结果偏差较大。

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图2　3种数值解比较曲线图

5　结语
　　本文讨论了渗流计算中3种数值计算方法的优缺点，这对实际应用来说是很有意义的。全文可归结如下几点结论：
　　a.　贮量集中有限元方法与有限差分方法的计算精度是基本等同的，而普通有限元法的计算精度与前两者相差较大。
　　b.　贮量集中有限元方法对普通有限元方程组系数矩阵的“不良状态”进行了改进，对提高其应用效果有益。
　　c.　从计算工作量来看，3种数值计算方法中，贮量集中有限元方法的计算工作量最小。

作者简介：李树文　男　44岁　博士研究生　副教授　水文地质

作者单位：李树文　王志强河北建筑科技学院　邯郸　056038
　　　　　武　强　董东林　中国矿业大学　北京　100083
　　　　　付耀军中国煤田水文地质局　邯郸　056004

参考文献

1　张蔚榛.地下水稳定流计算和地下水资源评价.北京：科学出版社，1983
2　张宏仁，李俊亭.有限差分法与有限单元法在渗流问题中的对比.水文地质工程地质.1979；(2)：42～45

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