螺纹紧固件上紧过程的动力学分析

1　前言

　　回转式螺纹紧固件装配工具是以主轴的失速扭矩来上紧螺母的，在文献〔1〕〔2〕〔3〕中认为：在上紧螺母的过程中，螺母的转角与外加的扭矩之间呈线性关系，而与作用的时间无关。然而，在螺母上紧的过程中，有关的物理参数如螺母的转角、机器的输出扭矩、机器运转的角速度、螺纹副的摩擦反力矩等都是时间的函数。本文以螺母的上紧为研究对象，分析回转式螺纹紧固件装配工具的工作过程，并建立起螺母上紧过程的微分方程，然后根据此装配工具的工作特点及上紧时的初始条件来解此微分方程，得出关于转角的函数关系式。从得到的转角函数可以看出机器输出的扭矩与螺母转角之间不是线性关系。

2　上紧螺母过程的微分方程的建立及求解

　　在上紧螺母的过程中，由于螺母实际上是绕一固定轴在转动，所以由质点系动量矩定理可知，螺母转动应满足下列微分方程^〔4〕：

　　　　　　　(1)

式中　J——螺母的转动惯量，kg^.m²
　　　φ(t)——螺母的转角，rad
　　　M(t)——外加扭矩之和，N^.m
　　对于回转式螺纹紧固件装配工具，其输出扭矩与主轴角速度之间应有下式成立^〔1〕：

M₁(t)=M₀(1-ω／ω₁)　　　　　　　　(2)

式中　ω——输出轴的角速度，rad/s
　　　ω₁——扭矩为零时，输出轴的角速度，rad/s
　　　M₁(t)——任一角速度下的扭矩，N^.m
　　　M₀——角速度为零时的扭矩，N^.m
　　下面来分析螺母在上紧过程中，作用在其上的外加扭矩，首先是回转式螺纹紧固件装配工具输出的扭矩，如式(2)所示。此外，在上紧过程中螺母还要受到来自螺纹副和螺母支撑面上摩擦力矩的阻碍。很明显，在上紧螺母的过程中，摩擦力矩是时间的函数，设这个力矩为M₂(t)。因此总的外加扭矩可用这两部分力矩之和来表示，所以有下式成立：

M(t)=M₁(t)-M₂(t)
　　　　　　　　　　　=M₀(1-ω／ω₁)-M₂(t)　　　　(3)

　　将式(3)带入式(1)并经过整理后可得到如下一个二阶微分方程：

　　　　(4)

式中　
　　　
　　　
　　对于式(4)，我们首先来求对应的齐次方程的通解，这时式(4)的齐次方程为：

　　　　　(5)

　　其特征方程为：

λ²+Aλ=0　　　　　　(6)

式中　λ——特征根
　　解式(6)得：
　　λ₁=0、λ₂=-A
　　所以式(5)的通解为：

φ₁(t)=C₁+C₂^.e^-At(7)

式中　C₁、C₂——为待定常数，由上紧螺母的初始条件来确定
　　下面利用常数变易法来求出式(4)的一个特解φ₂(t)。设：

₂(t)=C₁(t)+C₂(t)e^-At(8)

而C₁(t)、C₂(t)可由下列方程组来确定：

　　　　　(9)

　　解此方程组得：

(10)

　　再对式(10)积分得：

　　　　　(11)

　　由式(7)、式(8)和式(11)得：

　　　　　　(12)

　　式(12)中的系数C₁、C₂可由上紧螺母的初始条件确定。利用式(12)可以求出角速度和角加速度等一系列物理参数来，显然这些参数都是时间的函数。

3　螺母上紧过程的动力学分析

　　由式(12)可以看出螺母转角是时间的函数，若M₂(t)为一可积函数，则利用式(12)就可求出φ(t)的解析表达式。
　　在上紧螺母的过程中，随着时间的延续，螺纹及支撑端面的摩擦阻力矩将增大，因此它是时间的增函数。又由于螺纹能产生自锁，所以M₂(t)是单调增函数。当时间为零时，按照上紧螺母的状态，应该有：

M₂(0)=0

　　现在我们来考虑一种最简单的单调增函数，即：

M₂(t)=Dt　　　　　　(13)

式中　D——扭矩比率，代表单位时间内扭矩的增量，N^.m/s
　　此假设与实测结果十分相符，式(13)满足M₂(0)=0的条件。
　　把式(13)代入式(12)，积分，并使积分常数为0，整理后得到下式：

　　　　(14)

　　下面利用上紧时的初始条件来求出待定系数 C₁和C₂。当时间t为零时，转角为零，而角速度应该与回转式螺纹紧固件装配工具的角速度相同，即为ω₁。将初始条件带入式(14)和式(14)的微分式可得：

(15)

　　由式(15)解得：

　　　　　(16)

　　把式(16)代入式(14)，然后再把A、B、C的表达式代入，最后得：

　　　(17)

　　由式(17)可以求出如下两式：

　　　　　　(18)

　　　　　(19)

　　式(18)表示的是螺母旋转的角速度，式(19)表示的是螺母旋转的角加速度。
　　当时，式(18)就变成了关于时间t的方程，方程的解对应着转角的极大值。由于此方程属于超越代数方程，一般无解析解，但可通过数值解法来求出其近似解，限于篇幅，这里就不详述了。
　　然而，对于式(17)、式(18)和式(19)来讲，若，则其表达式可进一步简化。对于上紧螺母，其J值一般很小，这可从表1中看出，如M42的普通螺母，其J值也在万分之几以内，所以可近似地取为零。这样式(17)、式(18)和式(19)就可简化为：

　　　　　　(20)

(21)

　　　　　(22)

将式(21)代入式(2)得：

M₁(t)=Dt　　　　　　(23)

表1